HIMPUNAN

A. Pengertian Himpunan

Dalam matematika, himpunan merupakan pengertian pangkal (tidak didefinisikan, undefined term). Himpunan adalah kumpulan dari objek-objek tertentu yang tercakup dalam satu kesatuan dengan keterangan yang jelas, berarti himpunan dapat mengklasifikasikan objek kedalam anggota atau bukan anggota himpunan itu.

Contoh himpunan:

• Kumpulan hewan-hewan berkaki empat
• Kumpulan bilangan bulat antara 3 dan 8
• Kumpulan nama-nama mahasiswa PGSD yang berusia dibawah 3 tahun

Kumpulan berikut ini bukan himpunan:

• Kumpulan bunga-bunga yang indah
• Kumpulan lukisan yang indah
• Kumpulan nama-nama mhs PGSD yang cantik.

B. Cara Untuk Menyatakan Himpunan

Pada umumnya, untuk menyatakan suatu himpunan, digunakan huruf besar / kapital seperti A,B,C dsb. Sedangkan untuk menyatakan anggota-anggotanya digunakan huruf kecil seperti a,b,c dsb.

1. Enumerasi atau tabulasi

Yaitu menyatakan himpunan dengan mendaftarkan semua anggotanya yang diletakkan dalam sepasang tanda kurung kurawal, dan diantara setiap anggotanya dipisahkan dengan tanda koma.

Contoh :
A = {a,i,u,e,o}
B = {a,b,c,d,e}
C = {v,w,x,y,z}

2. Simbol baku

Yaitu menyatakan himpunan dengan menggunakan simbol tertentu yang telah disepakati.

Contoh :
P adalah himpunan bilangan bulat
Z adalah himpunan bilangan ganjil
Q adalah kumpulan hewan berkaki empat

3. Deskriptif

Yaitu menyatakan himpunan dengan menuliskan ciri-ciri umum atau sifat-sifat umum dari anggotanya.

Contoh :
D = { x │ x adalah himpunan bilangan bulat }
E = { x │x adalah himpunan bilangan cacah }
F = { x │x adalah himpunan bilangan cacah }

4. Diagaram Venn

Yaitu menyatakan himpunan secara grafis dengan tiap-tiap himpunan digambarkan sebagai lingkaran dan yang memiiliki himpunan semesta (U) yang digambarkan dengan segi empat.

Contoh :

5. Diagram Garis

Jika A himpunan bagian dari C dan B himpunan bagian dari C, maka ditulis dalam diagram garis sbb;

6. Diagram Cartess

Untuk menggambarkan suatu himpunan bilangan, Rene Descartes menggambarkannya dalam suatu garis bilangan. Garis bilangan ini disebut garis bilangan Cartess.

Jika A = {x │ 0< x < 3}, maka digambarkan dalam garis bilangan sbb;


C. Keanggotaan Himpunan

Relasi anggota dengan himpunan menggunakan notasi “∈“ dan yang bukan anggota menggunakan notasi “∉”, seperti contoh berikut.

W : { d, m, p, t }
p ∈ { d, m, p, t } atau p ∈ W
b ∉ { d, m, p, t } atau b ∉ W
Banyaknya anggota W dinotasikan dengan n(W), jadi n(W) = 4.

D. Macam-macam Himpunan

1. Himpunan Kosong

Adalah himpunan yang tidak memiliki satupun elemen atau anggota. Dengan notasi { } atau ø.

Contoh :
P = { x │x adalah bilangan ganjil yang habis dibagi 2} maka notasinya adalah P = { } dan n(P) = 0.

2. Himpunan Semesta

Himpunan semesta S adalah himpunan yang memuat semua anggota himpunan yang dibicarakan.

Contoh :
Himpunan semesta dari {1,2,3,4,5} antara lain adalah:
S = {0,1,2,3,4,5,6}
S= {x|x bilangan asli}
S = Himpunan bilangan cacah kurang dari 20

3. Himpunan Terhingga

Himpunan terhingga (finite) adalah himpunan yang banyak anggotanya terhingga, yaitu himpunan kosong atau himpunan yang mempunyain elemen.

Contoh :
A adalah himpunan hari dalam satu minggu
B adalah himpunan bilangan asli kurang dari 10

4. Himpunan Tak Hingga

Himpunan takterhingga (infinite atau denumerable) adalah himpunan yang banyak anggotanya tak terhingga.

Contoh : Himpunan bilangan genap, himpunan bilangan ganjil, himpunan bilangan bulat, himpunan bilangan rasional, dsb

5. Himpunan Terbilang

Dikatakan himpunan berhingga jika kita membilang anggota-anggota yang berbeda dalam himpunan tersebut, maka suatu saat kegiatan membilang itu akan berhenti.

P = {4,5,6,7,8,9}
Q = {r, s, t, v, w, k, d, a}.

6. Himpunan Tak Terbilang

Dikatakan himpunan takhingga jika kita membilang anggota-anggota yang berbeda dalam himpunan tersebut, maka kegiatan membilang itu tidak akan berhenti.

D = {x│0 < x < 2500, x bilangan rasional}
F = {x│x < 4, x bilangan cacah}