HIMPUNAN

A. Pengertian Himpunan

Dalam matematika, himpunan merupakan pengertian pangkal (tidak didefinisikan, undefined term). Himpunan adalah kumpulan dari objek-objek tertentu yang tercakup dalam satu kesatuan dengan keterangan yang jelas, berarti himpunan dapat mengklasifikasikan objek kedalam anggota atau bukan anggota himpunan itu.

Contoh himpunan:

• Kumpulan hewan-hewan berkaki empat
• Kumpulan bilangan bulat antara 3 dan 8
• Kumpulan nama-nama mahasiswa PGSD yang berusia dibawah 3 tahun

Kumpulan berikut ini bukan himpunan:

• Kumpulan bunga-bunga yang indah
• Kumpulan lukisan yang indah
• Kumpulan nama-nama mhs PGSD yang cantik.

B. Cara Untuk Menyatakan Himpunan

Pada umumnya, untuk menyatakan suatu himpunan, digunakan huruf besar / kapital seperti A,B,C dsb. Sedangkan untuk menyatakan anggota-anggotanya digunakan huruf kecil seperti a,b,c dsb.

1. Enumerasi atau tabulasi

Yaitu menyatakan himpunan dengan mendaftarkan semua anggotanya yang diletakkan dalam sepasang tanda kurung kurawal, dan diantara setiap anggotanya dipisahkan dengan tanda koma.

Contoh :
A = {a,i,u,e,o}
B = {a,b,c,d,e}
C = {v,w,x,y,z}

2. Simbol baku

Yaitu menyatakan himpunan dengan menggunakan simbol tertentu yang telah disepakati.

Contoh :
P adalah himpunan bilangan bulat
Z adalah himpunan bilangan ganjil
Q adalah kumpulan hewan berkaki empat

3. Deskriptif

Yaitu menyatakan himpunan dengan menuliskan ciri-ciri umum atau sifat-sifat umum dari anggotanya.

Contoh :
D = { x │ x adalah himpunan bilangan bulat }
E = { x │x adalah himpunan bilangan cacah }
F = { x │x adalah himpunan bilangan cacah }

4. Diagaram Venn

Yaitu menyatakan himpunan secara grafis dengan tiap-tiap himpunan digambarkan sebagai lingkaran dan yang memiiliki himpunan semesta (U) yang digambarkan dengan segi empat.

Contoh :

5. Diagram Garis

Jika A himpunan bagian dari C dan B himpunan bagian dari C, maka ditulis dalam diagram garis sbb;

6. Diagram Cartess

Untuk menggambarkan suatu himpunan bilangan, Rene Descartes menggambarkannya dalam suatu garis bilangan. Garis bilangan ini disebut garis bilangan Cartess.

Jika A = {x │ 0< x < 3}, maka digambarkan dalam garis bilangan sbb;


C. Keanggotaan Himpunan

Relasi anggota dengan himpunan menggunakan notasi “∈“ dan yang bukan anggota menggunakan notasi “∉”, seperti contoh berikut.

W : { d, m, p, t }
p ∈ { d, m, p, t } atau p ∈ W
b ∉ { d, m, p, t } atau b ∉ W
Banyaknya anggota W dinotasikan dengan n(W), jadi n(W) = 4.

D. Macam-macam Himpunan

1. Himpunan Kosong

Adalah himpunan yang tidak memiliki satupun elemen atau anggota. Dengan notasi { } atau ø.

Contoh :
P = { x │x adalah bilangan ganjil yang habis dibagi 2} maka notasinya adalah P = { } dan n(P) = 0.

2. Himpunan Semesta

Himpunan semesta S adalah himpunan yang memuat semua anggota himpunan yang dibicarakan.

Contoh :
Himpunan semesta dari {1,2,3,4,5} antara lain adalah:
S = {0,1,2,3,4,5,6}
S= {x|x bilangan asli}
S = Himpunan bilangan cacah kurang dari 20

3. Himpunan Terhingga

Himpunan terhingga (finite) adalah himpunan yang banyak anggotanya terhingga, yaitu himpunan kosong atau himpunan yang mempunyain elemen.

Contoh :
A adalah himpunan hari dalam satu minggu
B adalah himpunan bilangan asli kurang dari 10

4. Himpunan Tak Hingga

Himpunan takterhingga (infinite atau denumerable) adalah himpunan yang banyak anggotanya tak terhingga.

Contoh : Himpunan bilangan genap, himpunan bilangan ganjil, himpunan bilangan bulat, himpunan bilangan rasional, dsb

5. Himpunan Terbilang

Dikatakan himpunan berhingga jika kita membilang anggota-anggota yang berbeda dalam himpunan tersebut, maka suatu saat kegiatan membilang itu akan berhenti.

P = {4,5,6,7,8,9}
Q = {r, s, t, v, w, k, d, a}.

6. Himpunan Tak Terbilang

Dikatakan himpunan takhingga jika kita membilang anggota-anggota yang berbeda dalam himpunan tersebut, maka kegiatan membilang itu tidak akan berhenti.

D = {x│0 < x < 2500, x bilangan rasional}
F = {x│x < 4, x bilangan cacah}

RELASI

A. Pengertian Relasi

Untuk mempelajari relasi, perhatikan diagram panah berikut ini.

R menunjukkan hubungan atau relasi dari himpunan A ke himpunan B yang dapat ditunjukkan dengan { (1,c), (2,b), (3,a) }. Hal tersebut dapat ditulis sebagai :
R_A→B = { (1,c), (2,b), (3,a) }.

Secara umum, Relasi adalah hubungan antara anggota-anggota himpunan yang direpresentasikan dengan menggunakan struktur.

Untuk mendeskripsikan relasi antara anggota-anggota dua himpunan A dan B, dapat digunakan pasangan terurut dengan anggota pertamanya diambil dari A dan anggota keduanya diambil dari B, yakni { (1,c), (2,b), (3,a) } pada contoh diagram panah di atas.

Perhatikan kembali R_A→B = { (1,c), (2,b), (3,a) }.
Pasangan-pasangan tersebut dapat dikatakan dengan cara lain, yaitu:

1 dan c berada dalam relasi R

2 dan b berada dalam relasi R

3 dan a berada dalam relasi R

Hal itu ditulis sebagai (1,a)∈R atau R(1,a) atau 1Ra.
Dari diagram diatas terlihat bahwa 3 dan b tidak berada dalam relasi R. Hal itu ditulis sebagai (3,b)∉R atau R(3,b) atau 3Rb.
Karena ini merupakan relasi antara dua himpunan, maka disebut relasi biner.
Misalkan A dan B himpunan, Relasi biner R antara A dan B adalah himpunan bagian dari A x B.
Notasi : R⊆(A x B)

• Untuk relasi biner R berlaku R⊆AxB.
• Digunakan notasi aRb untuk menyatakan (a,b)∈R dan aRb untuk menyatakan (a,b)∉R.
• Jika (a, b) merupakan anggota R, a dikatakan berelasi dengan b oleh R.

Misalkan:
O adalah himounan orang
M adalah himpunan makanan, dan
N adalah relasi yang mendeskripsikan siapa yang memakan makanan tertentu.

O = {Aang, Bida, Charlie, Dina}
A = {Bakso (BK), Nasi Kuning (NK), Nasi Sambal (NS)}
N = {(Aang, BK), (Bida, BK), (Bida, NK), (Charlie, NS)}
Artinya,

• Aang memakan Bakso,
• Bida memakan Bakso dan Nasi Kuning,
• Charlie memakan Nasi Sambal, dan
• Dina tidak memakan salah satu dari makanan tersebut

B. Macam-macam Relasi

1. Relasi Refleksif

Relasi disebut refleksif jika dan hanya jika untuk setiap x anggota semestanya, x berelasi dengan dirinya sendiri. Jadi R refleksif jika dan hanya jika (∀x∈U) xRx.

Contoh 1 (Kalimat Deklaratif)
1. Relasi “mencintai” pada himpunan orang-orang yang normal, sebab setiap orang pasti mencintai dirinya sendiri.
2. Relasi “kesejajaran” pada himpunan garis-garis lurus pada bidang, sebab setiap garis lurus pasti sejajar dengan dirinya sendiri.

Contoh 2 (Matematis)
1. Jika diketahui A= {1,2,3} dan relasi R= {(1,1), (2,2), (3,3)} Pada A, maka R x∈A adalah refleksif, karena untuk setiap x∈A terdapat (x,x) pada R.
2. Perhatikan relasi pada himpunan = {1,2,3,4} berikut:
R1= {(1,1), (1,2), (1,4), (2,1), (2,2), (3,3), (4,1), (4,4)}
R2= {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4), (3,3), (3,4), (4,4)}
Relasi-relasi tersebut merupakan relasi refleksif karena memiliki elemen (1,1), (2,2), (3,3), dan (4,4).

2. Relasi Nonrefleksif

Relasi R pada U disebut nonrefleksif jika dan hanya jika ada sekurang-kurangnya satu elemen di dalam U yang tidak berelasi dengan dirinya sendiri. Jadi, non refleksif jika dan hanya jika (∃x∈U) xRx.

Contoh 1 (Kalimat Deklaratif)
Relasi “menguasai diri” pada himpunan orang-orang, sebab ada satu atau lebih orang yang tidak mampu menguasai diri.

Contoh 2 (Matematis)
Perhatikan relasi pada himpunan A= {1,2,3,}
R= {(1,1), (1,2), (2,2), (2,3), (3,3)}
Relasi tersebut merupakan relasi non refleksif, karena ada (1,2) dan (2,3).

3. Relasi Irrefleksif

Relasi R pada U disebut Irrefleksif (anti refleksif) jika dan hanya jika setiap elemen di dalam tidak berelasi dengan dirinya sendiri. Jadi, irrefleksif jika dan hanya jika (∀x∈U) xRx.

Contoh 1 (Kalimat Deklaratif)
1. Relasi “<” dan “>” pada himpunan bilangan real.
2. Relasi “lebih tua” pada himpunan orang-orang.

Contoh 2 (Matematis)
1. Diketahui B= {a,b,c} dan relasi R= {(a,c), (b,c), (b,a)}. Relasi R adalah irrefleksif, karena (a,a), (b,b), dan (c,c) bukan elemen.
2. Diketahui A= {1,2,3,4} dan relasi R= {(2,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3)}. Relasi R merupakan relasi irrefleksif, karena tidak terdapat elemen (x,x), dimana x∈A.

4. Relasi Simetri

Relasi R disebut simetri pada S jika dan hanya jika setiap dua anggota a dan b dari S berlaku jika a berelasi R dengan b maka b juga berelasi dengan a.

Secara simbolik: R simetri pada S jhj {∀a,b∈S} aRb → bRa.
Contoh:
1. Relasi R = { (a,b), (b,a), (a,c), (c,a) } dalam himpunan {a, b, c}.
2. Relasi “sejajar” dalam himpunan garis lurus.
3. Relasi “tinggal serumah” dalam himpunan mahasiswa matematika.

5. Relasi Nonsimetri

Relasi R disebut nonsimetri pada S jika dan hanya jika ada dua anggota a dan b dari S sedemikian hingga berlaku: a berelasi R dengan b tetapi b tidak berelasi R dengan a.

Secara simbolik: R simetri pada S jhj {∃a,b∈S } aRb ∧ bRa.
Perhatikan bahwa nonsimetri adalah negasi/ingkaran dari simetri.
Contoh:
1. Relasi R = { (a,b), (a,c), (c,a) } dalam himpunan {a, b, c}
2. Relasi “lebih kecil dari” dalam himpunan bilangan real.
3. Relasi “mencintai” dalam himpunan mahasiswa matematika.

6. Relasi Asimetri

Relasi R disebut asimetri pada S jika dan hanya jika setiap dua anggota a dan b dari S berlaku: jika a berelasi R dengan b maka b tidak berelasi R dengan a.

Secara simbolik: R asimetri pada S jhj (∀a,b∈S) aRb → bRa.
Contoh:
1. Relasi R = { (a,b), (b,c), (c,a) } dalam himpunan { a,b,c }.
2. Relasi “kurang dari” dalam himpunan bilangan real.
3. Relasi “adik kelas dari” dalam himpunan mahasiswa matematika.

7. Relasi Antisimetri

Relasi R disebut antisimetri pada S jika dan hanya jika setiap dua anggota a dan b dari S berlaku: jika a berelasi R dengan b dan b berelasi R dengan a maka a=b.

R antisimetris pada S jika dan hanya jika:
(∀a,b∈S). (a,b)∈R ∧ ( b,a )∉R → a = b
(∀a,b∈S). (a,b)∈R ∧ ( b,a )∉R^-1 → a = b
(∀a,b∈S) aRb ∧ bRa → a = b
Contoh:
1. A = keluarga himpunan.
Relasi “ himpunan bagian” adalah relasi yang antisimetris pada A, karena untuk setiap dua himpunan x dan y, jika x y dan y x, maka x = y.
2. Relasi “kurang dari atau sama dengan (≤)” dalam himpunan bilangan real. Jadi, relasi “kurang dari atau sama dengan (≤)” bersifat anti simetri, karena jika a ≤ b dan b ≤ a berarti a = b.
3. Relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat asli N merupakan contoh relasi yang tidak simetri karena jika a habis membagi b, b tidak habis membagi a, kecuali jika a = b. Sementara itu, relasi “habis membagi” merupakan relasi yang anti simetri karena jika a habis membagi b dan b habis membagi a maka a = b.

8. Relasi Transitif

R adalah relasi pada A. R disebut relasi Transitif pada A jika dan hanya jika setiap 3 anggota himpunan A, (a,b,c ∈A) jika (a,b)∈R, dan (b,c)∈R maka (a,c)∈R (setiap tiga anggota a,b,c dari A, jika a berelasi dengan b dan b berelasi dengan c maka a berelasi dengan c). Secara simbolik: R transitif pada A jhj (∀a,b,c ∈A) aRb ∧ bRc → aRc

Contoh:
1. Relasi R = {(a,b), (b,c), (a,c), (c,c) } dalam himpunan { a,b,c }.
2. Relasi “sejajar” dalam himpunan garis lurus.
3. Relasi “tinggal serumah” dalam himpunan mahasiswa matematika.
4. Relasi “sebangun” dalam himpunan bangun datar.

9. Relasi Nontransitif

R adalah relasi pada A. R disebut relasi nontransitif pada A jika dan hanya jika ada tiga anggota himpunan A, (a,b,c ∈A) sedemikian hingga (a,b)∈R , dan (b,c)∈R dan (a,c)∉R (ada tiga anggota a,b,c dari A sedemikian hingga a berelasi dengan b dan b berelasi dengan c dan a tidak berelasi dengan c).

Secara simbolik:
R non-transitif pada A jhj (∃a,b,c ∈A). aRb ∧ bRc → aRc
Contoh:
R = {(1,2),(2,3),(3,4)}

10. Relasi Intransitif

R adalah relasi pada himpunan A. R disebut relasi intransitif pada A jika dan hanya jika setiap tiga anggota himpunan A, (a,b,c ∈A) jika (a,b)∈R dan (b,c)∈R maka (a,c)∉R (setiap tiga anggota a,b,c dari A, jika a berelasi dengan b dan b berelasi dengan c maka a tidak berelasi dengan c).

Secara simbolik:
R intrasitif pada A jhj ( a,b,c ∉A). aRb ∧ bRc → aRc
Misal E = {1,2,3}, R = {(1,2),(2,3),(2,5),(3,4),(5,7)}
Relasi di atas intransitif karena :
(1,2)∈R dan (2,3)∈R, tetapi (1,3)∉R
(1,2)∈R dan (2,5)∈R, tetapi (1,5)∉R
(2,3)∈R dan (3,4)∈R, tetapi (2,4)∉R
(2,5)∈R dan (5,7)∈R, tetapi (2,7)∉R

C. Cara Penyajian/Representasi Relasi

Ada beberapa cara penyajian/representasi relasi, yakni:

1. Diagram Panah

Merepresentasikan himpunan asal sebagai sebuah kurva tertutup di sebelah kiri dan daerah hasil sebagai kurva terbuka di sebelah kanan. Elemen-elemen di setiap himpunan direpresentasikan dengan titik yang memiliki label sesuai nama elemen tersebut. Relasi yang terjadi digambarkan sebagai garis yang menghubungkan titik-titik elemen di himpunan sebelah kiri ke elemen di himpunan sebelah kanan. Garis ini dapat memiliki arah maupun tidak. Sebagai contoh dapat dilihat pada gambar dibawah ini:

Contoh: menentukan hobi seorang mahasiswa

2. Tabel

Jika relasi dipresentsikan dengan tabel, maka kolom pertama tabel menyatakan daerah asal dan kolom kedua menyatakan daerah hasil.

Contoh:
Relasi A “kurang dari” B

A	B
1	3
4	5
7	9

3. Pasangan Berurutan

Pasangan berurutan adalah cara penyajian relasi yang dapat dinotasikan {x,y} dari himpunan A dan himpunan B yang mana x∈A dan y∈B

Contoh: Relasi "menyukai warna" dapat juga dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan. Anggota-anggota himpunan A= {Etika, wiwin, Daniel} dipasangkan dengan anggota-anggota himpunan B = {merah, hijau, biru}. Dari data tersebut maka kita bisa mengetahui bahwa Etika menyukai warna merah, Wiwin menyukai warna hijau, dan Daniel menyukai warna biru. Maka relasi berurutan ini ditulis sebagai berikut : {Etika,merah}, {Wiwin,hijau}, {Daniel,biru}.

4. Graph

Graph merupakan representasi terakhir dari sebuah relasi. Graph digunakan untuk menggambarkan relasi dari dua himpunan yang elemen-elemennya sama. Graph adalah himpunan simpul (vertex/node) V bersama dengan himpunan pasangan berurut E dari anggota-anggota V yang disebut sebagai garis-hubung (edge/arc). Untuk sebuah garis-hubung (a,b), maka a disebut sebagai simpul awal (initial vertex) dan b disebut sebagai simpul akhir (terminal vertex).

Graph dapat digambarkan dengan arah panah. Contoh: V = {a, b, c, d}, dan E ={(a, b), (b, c), (b, d), (c, c) (c, a), (c, d), (d, b)} maka digraph dapat digambarkan sebagai berikut:

Sisi yang berbentuk seperti (c, c) disebut sebagai loop.