RELASI

A. Pengertian Relasi

Untuk mempelajari relasi, perhatikan diagram panah berikut ini.

R menunjukkan hubungan atau relasi dari himpunan A ke himpunan B yang dapat ditunjukkan dengan { (1,c), (2,b), (3,a) }. Hal tersebut dapat ditulis sebagai :
R_A→B = { (1,c), (2,b), (3,a) }.

Secara umum, Relasi adalah hubungan antara anggota-anggota himpunan yang direpresentasikan dengan menggunakan struktur.

Untuk mendeskripsikan relasi antara anggota-anggota dua himpunan A dan B, dapat digunakan pasangan terurut dengan anggota pertamanya diambil dari A dan anggota keduanya diambil dari B, yakni { (1,c), (2,b), (3,a) } pada contoh diagram panah di atas.

Perhatikan kembali R_A→B = { (1,c), (2,b), (3,a) }.
Pasangan-pasangan tersebut dapat dikatakan dengan cara lain, yaitu:

1 dan c berada dalam relasi R

2 dan b berada dalam relasi R

3 dan a berada dalam relasi R

Hal itu ditulis sebagai (1,a)∈R atau R(1,a) atau 1Ra.
Dari diagram diatas terlihat bahwa 3 dan b tidak berada dalam relasi R. Hal itu ditulis sebagai (3,b)∉R atau R(3,b) atau 3Rb.
Karena ini merupakan relasi antara dua himpunan, maka disebut relasi biner.
Misalkan A dan B himpunan, Relasi biner R antara A dan B adalah himpunan bagian dari A x B.
Notasi : R⊆(A x B)

• Untuk relasi biner R berlaku R⊆AxB.
• Digunakan notasi aRb untuk menyatakan (a,b)∈R dan aRb untuk menyatakan (a,b)∉R.
• Jika (a, b) merupakan anggota R, a dikatakan berelasi dengan b oleh R.

Misalkan:
O adalah himounan orang
M adalah himpunan makanan, dan
N adalah relasi yang mendeskripsikan siapa yang memakan makanan tertentu.

O = {Aang, Bida, Charlie, Dina}
A = {Bakso (BK), Nasi Kuning (NK), Nasi Sambal (NS)}
N = {(Aang, BK), (Bida, BK), (Bida, NK), (Charlie, NS)}
Artinya,

• Aang memakan Bakso,
• Bida memakan Bakso dan Nasi Kuning,
• Charlie memakan Nasi Sambal, dan
• Dina tidak memakan salah satu dari makanan tersebut

B. Macam-macam Relasi

1. Relasi Refleksif

Relasi disebut refleksif jika dan hanya jika untuk setiap x anggota semestanya, x berelasi dengan dirinya sendiri. Jadi R refleksif jika dan hanya jika (∀x∈U) xRx.

Contoh 1 (Kalimat Deklaratif)
1. Relasi “mencintai” pada himpunan orang-orang yang normal, sebab setiap orang pasti mencintai dirinya sendiri.
2. Relasi “kesejajaran” pada himpunan garis-garis lurus pada bidang, sebab setiap garis lurus pasti sejajar dengan dirinya sendiri.

Contoh 2 (Matematis)
1. Jika diketahui A= {1,2,3} dan relasi R= {(1,1), (2,2), (3,3)} Pada A, maka R x∈A adalah refleksif, karena untuk setiap x∈A terdapat (x,x) pada R.
2. Perhatikan relasi pada himpunan = {1,2,3,4} berikut:
R1= {(1,1), (1,2), (1,4), (2,1), (2,2), (3,3), (4,1), (4,4)}
R2= {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4), (3,3), (3,4), (4,4)}
Relasi-relasi tersebut merupakan relasi refleksif karena memiliki elemen (1,1), (2,2), (3,3), dan (4,4).

2. Relasi Nonrefleksif

Relasi R pada U disebut nonrefleksif jika dan hanya jika ada sekurang-kurangnya satu elemen di dalam U yang tidak berelasi dengan dirinya sendiri. Jadi, non refleksif jika dan hanya jika (∃x∈U) xRx.

Contoh 1 (Kalimat Deklaratif)
Relasi “menguasai diri” pada himpunan orang-orang, sebab ada satu atau lebih orang yang tidak mampu menguasai diri.

Contoh 2 (Matematis)
Perhatikan relasi pada himpunan A= {1,2,3,}
R= {(1,1), (1,2), (2,2), (2,3), (3,3)}
Relasi tersebut merupakan relasi non refleksif, karena ada (1,2) dan (2,3).

3. Relasi Irrefleksif

Relasi R pada U disebut Irrefleksif (anti refleksif) jika dan hanya jika setiap elemen di dalam tidak berelasi dengan dirinya sendiri. Jadi, irrefleksif jika dan hanya jika (∀x∈U) xRx.

Contoh 1 (Kalimat Deklaratif)
1. Relasi “<” dan “>” pada himpunan bilangan real.
2. Relasi “lebih tua” pada himpunan orang-orang.

Contoh 2 (Matematis)
1. Diketahui B= {a,b,c} dan relasi R= {(a,c), (b,c), (b,a)}. Relasi R adalah irrefleksif, karena (a,a), (b,b), dan (c,c) bukan elemen.
2. Diketahui A= {1,2,3,4} dan relasi R= {(2,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3)}. Relasi R merupakan relasi irrefleksif, karena tidak terdapat elemen (x,x), dimana x∈A.

4. Relasi Simetri

Relasi R disebut simetri pada S jika dan hanya jika setiap dua anggota a dan b dari S berlaku jika a berelasi R dengan b maka b juga berelasi dengan a.

Secara simbolik: R simetri pada S jhj {∀a,b∈S} aRb → bRa.
Contoh:
1. Relasi R = { (a,b), (b,a), (a,c), (c,a) } dalam himpunan {a, b, c}.
2. Relasi “sejajar” dalam himpunan garis lurus.
3. Relasi “tinggal serumah” dalam himpunan mahasiswa matematika.

5. Relasi Nonsimetri

Relasi R disebut nonsimetri pada S jika dan hanya jika ada dua anggota a dan b dari S sedemikian hingga berlaku: a berelasi R dengan b tetapi b tidak berelasi R dengan a.

Secara simbolik: R simetri pada S jhj {∃a,b∈S } aRb ∧ bRa.
Perhatikan bahwa nonsimetri adalah negasi/ingkaran dari simetri.
Contoh:
1. Relasi R = { (a,b), (a,c), (c,a) } dalam himpunan {a, b, c}
2. Relasi “lebih kecil dari” dalam himpunan bilangan real.
3. Relasi “mencintai” dalam himpunan mahasiswa matematika.

6. Relasi Asimetri

Relasi R disebut asimetri pada S jika dan hanya jika setiap dua anggota a dan b dari S berlaku: jika a berelasi R dengan b maka b tidak berelasi R dengan a.

Secara simbolik: R asimetri pada S jhj (∀a,b∈S) aRb → bRa.
Contoh:
1. Relasi R = { (a,b), (b,c), (c,a) } dalam himpunan { a,b,c }.
2. Relasi “kurang dari” dalam himpunan bilangan real.
3. Relasi “adik kelas dari” dalam himpunan mahasiswa matematika.

7. Relasi Antisimetri

Relasi R disebut antisimetri pada S jika dan hanya jika setiap dua anggota a dan b dari S berlaku: jika a berelasi R dengan b dan b berelasi R dengan a maka a=b.

R antisimetris pada S jika dan hanya jika:
(∀a,b∈S). (a,b)∈R ∧ ( b,a )∉R → a = b
(∀a,b∈S). (a,b)∈R ∧ ( b,a )∉R^-1 → a = b
(∀a,b∈S) aRb ∧ bRa → a = b
Contoh:
1. A = keluarga himpunan.
Relasi “ himpunan bagian” adalah relasi yang antisimetris pada A, karena untuk setiap dua himpunan x dan y, jika x y dan y x, maka x = y.
2. Relasi “kurang dari atau sama dengan (≤)” dalam himpunan bilangan real. Jadi, relasi “kurang dari atau sama dengan (≤)” bersifat anti simetri, karena jika a ≤ b dan b ≤ a berarti a = b.
3. Relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat asli N merupakan contoh relasi yang tidak simetri karena jika a habis membagi b, b tidak habis membagi a, kecuali jika a = b. Sementara itu, relasi “habis membagi” merupakan relasi yang anti simetri karena jika a habis membagi b dan b habis membagi a maka a = b.

8. Relasi Transitif

R adalah relasi pada A. R disebut relasi Transitif pada A jika dan hanya jika setiap 3 anggota himpunan A, (a,b,c ∈A) jika (a,b)∈R, dan (b,c)∈R maka (a,c)∈R (setiap tiga anggota a,b,c dari A, jika a berelasi dengan b dan b berelasi dengan c maka a berelasi dengan c). Secara simbolik: R transitif pada A jhj (∀a,b,c ∈A) aRb ∧ bRc → aRc

Contoh:
1. Relasi R = {(a,b), (b,c), (a,c), (c,c) } dalam himpunan { a,b,c }.
2. Relasi “sejajar” dalam himpunan garis lurus.
3. Relasi “tinggal serumah” dalam himpunan mahasiswa matematika.
4. Relasi “sebangun” dalam himpunan bangun datar.

9. Relasi Nontransitif

R adalah relasi pada A. R disebut relasi nontransitif pada A jika dan hanya jika ada tiga anggota himpunan A, (a,b,c ∈A) sedemikian hingga (a,b)∈R , dan (b,c)∈R dan (a,c)∉R (ada tiga anggota a,b,c dari A sedemikian hingga a berelasi dengan b dan b berelasi dengan c dan a tidak berelasi dengan c).

Secara simbolik:
R non-transitif pada A jhj (∃a,b,c ∈A). aRb ∧ bRc → aRc
Contoh:
R = {(1,2),(2,3),(3,4)}

10. Relasi Intransitif

R adalah relasi pada himpunan A. R disebut relasi intransitif pada A jika dan hanya jika setiap tiga anggota himpunan A, (a,b,c ∈A) jika (a,b)∈R dan (b,c)∈R maka (a,c)∉R (setiap tiga anggota a,b,c dari A, jika a berelasi dengan b dan b berelasi dengan c maka a tidak berelasi dengan c).

Secara simbolik:
R intrasitif pada A jhj ( a,b,c ∉A). aRb ∧ bRc → aRc
Misal E = {1,2,3}, R = {(1,2),(2,3),(2,5),(3,4),(5,7)}
Relasi di atas intransitif karena :
(1,2)∈R dan (2,3)∈R, tetapi (1,3)∉R
(1,2)∈R dan (2,5)∈R, tetapi (1,5)∉R
(2,3)∈R dan (3,4)∈R, tetapi (2,4)∉R
(2,5)∈R dan (5,7)∈R, tetapi (2,7)∉R

C. Cara Penyajian/Representasi Relasi

Ada beberapa cara penyajian/representasi relasi, yakni:

1. Diagram Panah

Merepresentasikan himpunan asal sebagai sebuah kurva tertutup di sebelah kiri dan daerah hasil sebagai kurva terbuka di sebelah kanan. Elemen-elemen di setiap himpunan direpresentasikan dengan titik yang memiliki label sesuai nama elemen tersebut. Relasi yang terjadi digambarkan sebagai garis yang menghubungkan titik-titik elemen di himpunan sebelah kiri ke elemen di himpunan sebelah kanan. Garis ini dapat memiliki arah maupun tidak. Sebagai contoh dapat dilihat pada gambar dibawah ini:

Contoh: menentukan hobi seorang mahasiswa

2. Tabel

Jika relasi dipresentsikan dengan tabel, maka kolom pertama tabel menyatakan daerah asal dan kolom kedua menyatakan daerah hasil.

Contoh:
Relasi A “kurang dari” B

A	B
1	3
4	5
7	9

3. Pasangan Berurutan

Pasangan berurutan adalah cara penyajian relasi yang dapat dinotasikan {x,y} dari himpunan A dan himpunan B yang mana x∈A dan y∈B

Contoh: Relasi "menyukai warna" dapat juga dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan. Anggota-anggota himpunan A= {Etika, wiwin, Daniel} dipasangkan dengan anggota-anggota himpunan B = {merah, hijau, biru}. Dari data tersebut maka kita bisa mengetahui bahwa Etika menyukai warna merah, Wiwin menyukai warna hijau, dan Daniel menyukai warna biru. Maka relasi berurutan ini ditulis sebagai berikut : {Etika,merah}, {Wiwin,hijau}, {Daniel,biru}.

4. Graph

Graph merupakan representasi terakhir dari sebuah relasi. Graph digunakan untuk menggambarkan relasi dari dua himpunan yang elemen-elemennya sama. Graph adalah himpunan simpul (vertex/node) V bersama dengan himpunan pasangan berurut E dari anggota-anggota V yang disebut sebagai garis-hubung (edge/arc). Untuk sebuah garis-hubung (a,b), maka a disebut sebagai simpul awal (initial vertex) dan b disebut sebagai simpul akhir (terminal vertex).

Graph dapat digambarkan dengan arah panah. Contoh: V = {a, b, c, d}, dan E ={(a, b), (b, c), (b, d), (c, c) (c, a), (c, d), (d, b)} maka digraph dapat digambarkan sebagai berikut:

Sisi yang berbentuk seperti (c, c) disebut sebagai loop.